一道周測試題的教學(xué)反思

高一數(shù)學(xué)組   吳國梁

在開學(xué)初的第一周周測結(jié)束，學(xué)生對下面的問題的解答遇到了困難，主要表現(xiàn)在三個方面。第一，沒有明確的思路，不會使用方程的思想解決問題。第二，學(xué)生探索不出此類問題的幾何特征。第三，使用方程思想的還不會使用設(shè)而不求的思想，對于代線法，設(shè)成x軸的斜截式的技巧性方法還不知道。通過講解這個考題要讓學(xué)生明確解決直線與圓的相交綜合問題的一般路徑和思考順序。

解決這類問題一般路徑即為代數(shù)法中方程的思想和數(shù)形結(jié)合中圖形特征的挖掘與計算。思考的前后順序應(yīng)該優(yōu)先從和數(shù)形結(jié)合，挖掘圖形的平面特征，若能找到破解路徑最好，否則就要用解析幾何中最基本的方法，聯(lián)立方程組消元，得到一元二次方程，在使用設(shè)而不求整體代換的方法進行求解。

題目如下：已知直線：，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方．

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是？

（2）過點的直線（斜率存在）與圓交于兩點(在軸上方)，在軸正半軸上存在定點，使得軸平分，則點的坐標(biāo)為？．

略去第一問，下面通過幾個方法解答第二問，以此加深學(xué)生對此方法技巧的理解。

方法一

解：因為直線過點M(1,0)

1） 由圖形可知斜率為0不符合題意，

2）當(dāng)直線斜率不存在時直線AB方程為：，則A(1,),B(1,),那么x軸上的所有點都滿足題意。

3）當(dāng)設(shè)直線A的斜率存在且不為零時設(shè)方程為，與圓C方程聯(lián)立，設(shè)其交點分別為A()，B(),N(m,0)

，消去y，整理得

當(dāng)時，由韋達定理可知

若NM平分,可推得,代入坐標(biāo)可得

因為，（利用A,B在直線AB上，目的將y變成x表示，這種方法稱作代線法，達到橫縱坐標(biāo)的相互表示）

代入，交叉相乘，去分母整理的：--（3），將（1），（2）代入（3）化簡得：

解得

由1），2），3）可知

變式訓(xùn)練：

無論直線AB如何變化，是否存在定點N,使得若NM平分,

根據(jù)圓的對稱性可知，若點N不在x軸上，這樣的點N必關(guān)于x軸對稱。這與點N為定點矛盾，所以點N必在x軸上。

方法優(yōu)化：

因為直線過點M(1,0)

1）由圖形可知斜率為0不符合題意，

2）當(dāng)直線斜率不存在時直線AB方程為：，則A(1,),B(1,),那么x軸上的所有點都滿足題意。

3）當(dāng)設(shè)直線A的斜率存在且不為零時設(shè)方程為，與圓C方程聯(lián)立，設(shè)其交點分別為A()，B(),N(m,0)

，消去x，整理得

當(dāng)時，由韋達定理可知

若NM平分,可推得,代入坐標(biāo)可得

因為，（利用A,B在直線AB上，目的將x變成y表示，這種方法稱作代線法，達到橫縱坐標(biāo)的相互表示）

代入，交叉相乘，去分母整理的：--（3），將（1），（2）代入（3）化簡得：

解得

由1），2），3）可知